Chapitre 3 — Le second degré · coursI La forme canonique du trinôme

Sommaire du chapitre

I — La forme canonique du trinôme
- Méthode 1 — Mettre un trinôme sous forme canonique
II — Calcul de $α$ et $β$ , factorisation
- Méthode 2 — Forme canonique par $α$ et $β$ , puis factorisation
III — Racines du trinôme et équations du second degré
- Méthode 3 — Résoudre une équation du second degré
IV — Factorisation du trinôme
- Méthode 4 — Factoriser un trinôme
V — Somme et produit des racines
- Méthode 5 — Trouver les racines sans discriminant
VI — Signe du trinôme et inéquations du second degré
- Méthode 6 — Résoudre une inéquation du second degré
VII — Représentation graphique de la fonction trinôme
- Méthode 7 — Tracer l'allure d'une parabole
VIII — Variations de la fonction trinôme
- Méthode 8 — Dresser le tableau de variations d'un trinôme
IX — Équations se ramenant au second degré
- Méthode 9 — Résoudre une équation se ramenant au second degré
X — Inéquations se ramenant au second degré
- Méthode 10 — Résoudre une inéquation se ramenant au second degré
XI — Résoudre un problème du second degré
- Méthode 11 — Résoudre un problème du second degré

Définition 1 — Trinôme du second degré

Un trinôme du second degré (ou trinôme) est une expression de la forme

P (x) = a x^{2} + b x + c

o \overset{u}{ˋ} a, b, c sont des r \overset{e}{ˊ} els, avec a \neq = 0.

Un même trinôme peut s'écrire de plusieurs façons : forme développée, forme canonique et forme factorisée (si elle existe). La forme canonique est celle qui montre s'il se factorise et quel est son extremum. Pour l'obtenir, on fait apparaître une identité remarquable.

Théorème 1 — Forme canonique

Tout trinôme $P (x) = a x^{2} + b x + c$ s'écrit, d'une seule façon,

P (x) = a (x - α)^{2} + β

o \overset{u}{ˋ} α et β sont deux r \overset{e}{ˊ} els.

Méthode 1 — Mettre un trinôme sous forme canonique

Exemples corrigés

Écrire chaque trinôme sous forme canonique.

a)
$P (x) = x^{2} - 10 x + 16$
b)
$Q (x) = 2 x^{2} + 10 x + 7$ ( $a \neq = 1$ )
c)
$R (x) = - x^{2} + 6 x - 11$ ( $a < 0$ )

Correction

P (x)

= x^{2} - 10 x + 16

x^{2} - 10 x

est le début de

(x - 5)^{2} = x^{2} - 10 x + 25

P (x)

= x^{2} - 10 x + 25 - 25 + 16

on ajoute

25

et on le retire

P (x)

= (x - 5)^{2} - 9

on réduit

Q (x)

= 2 x^{2} + 10 x + 7

on recopie

Q (x)

= 2 (x^{2} + 5 x) + 7

a \neq = 1

2

en facteur dans les deux premiers termes

Q (x)

= 2 [(x + \frac{5}{2})^{2} - \frac{25}{4}] + 7

x^{2} + 5 x

est le début de

(x + \frac{5}{2})^{2}

Q (x)

= 2 (x + \frac{5}{2})^{2} - \frac{25}{2} + 7

on distribue le

2

Q (x)

= 2 (x + \frac{5}{2})^{2} - \frac{11}{2}

on réduit

R (x)

= - x^{2} + 6 x - 11

on recopie

R (x)

= - (x^{2} - 6 x) - 11

- 1

en facteur : les signes changent dans la parenthèse

R (x)

= - [(x - 3)^{2} - 9] - 11

x^{2} - 6 x

est le début de

(x - 3)^{2}

R (x)

= - (x - 3)^{2} - 2

on distribue le «

-

», puis on réduit

À vous de jouer

Écrire chaque trinôme sous forme canonique :

A (x) = x^{2} + 12 x + 20

B (x) = 2 x^{2} - 2 x - 3

C (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 14

Correction

$A$

A (x)

= x^{2} + 12 x + 20

x^{2} + 12 x

est le début de

(x + 6)^{2} = x^{2} + 12 x + 36

A (x)

= x^{2} + 12 x + 36 - 36 + 20

on ajoute

36

et on le retire

A (x)

= (x + 6)^{2} - 16

on réduit

$B$

B (x)

= 2 x^{2} - 2 x - 3

on recopie

B (x)

= 2 (x^{2} - x) - 3

2

en facteur dans les deux premiers termes

B (x)

= 2 [(x - \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{4}] - 3

x^{2} - x

est le début de

(x - \frac{1}{2})^{2}

B (x)

= 2 (x - \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{2} - 3

on distribue le

2

B (x)

= 2 (x - \frac{1}{2})^{2} - \frac{7}{2}

on réduit

$C$

C (x)

= - 3 x^{2} + 12 x - 14

on recopie

C (x)

= - 3 (x^{2} - 4 x) - 14

- 3

en facteur : les signes changent dans la parenthèse

C (x)

= - 3 [(x - 2)^{2} - 4] - 14

x^{2} - 4 x

est le début de

(x - 2)^{2}

C (x)

= - 3 (x - 2)^{2} + 12 - 14

on distribue le

- 3

C (x)

= - 3 (x - 2)^{2} - 2

on réduit

À faire : exercices 1 à 3

Exercice 1 — Lire, écrire et développer une forme canonique

1)
Pour chaque fonction, donner $a$ , $α$ et $β$ .
1. a)
  $f (x) = (x - 3)^{2} + 5$
2. b)
  $g (x) = (x + 2)^{2} - 7$
3. c)
  $h (x) = 2 (x + 1)^{2} + 4$
4. d)
  $k (x) = - 3 (x - 4)^{2} - 1$
5. e)
  $m (x) = (x + 5)^{2}$
6. f)
  $n (x) = - x^{2} + 6$
2)
Écrire la forme canonique du trinôme $P$ pour chaque cas.
1. a)
  $a = 1$ , $α = 2$ et $β = - 3$
2. b)
  $a = - 2$ , $α = - 1$ et $β = 5$
3. c)
  $a = 3$ , $α = 4$ et $β = 0$
4. d)
  $a = 5$ , $α = 0$ et $β = - 1$
3)
Développer $f (x)$ , $g (x)$ , $h (x)$ et $k (x)$ de la question 1.

Corrigé

1)
On compare à $a (x - α)^{2} + β$ .
1. a)
  $f$ : $a = 1$ , $α = 3$ et $β = 5$ .
2. b)
  $g (x) = (x - (- 2))^{2} + (- 7)$ : $a = 1$ , $α = - 2$ et $β = - 7$ .
3. c)
  $h (x) = 2 (x - (- 1))^{2} + 4$ : $a = 2$ , $α = - 1$ et $β = 4$ .
4. d)
  $k$ : $a = - 3$ , $α = 4$ et $β = - 1$ .
5. e)
  $m (x) = (x - (- 5))^{2} + 0$ : $a = 1$ , $α = - 5$ et $β = 0$ .
6. f)
  $n (x) = - (x - 0)^{2} + 6$ : $a = - 1$ , $α = 0$ et $β = 6$ .
2)
1. a)
  $P (x) = (x - 2)^{2} - 3$
2. b)
  $P (x) = - 2 (x + 1)^{2} + 5$ ( $x - (- 1) = x + 1$ )
3. c)
  $P (x) = 3 (x - 4)^{2}$
4. d)
  $P (x) = 5 x^{2} - 1$ ( $(x - 0)^{2} = x^{2}$ )
3)
On développe le carré, puis on multiplie par $a$ .

$f (x)$
$= x^{2} - 6 x + 9 + 5$
$f (x)$
$= x^{2} - 6 x + 14$
$g (x)$
$= x^{2} + 4 x + 4 - 7$
$g (x)$
$= x^{2} + 4 x - 3$
$h (x)$
$= 2 (x^{2} + 2 x + 1) + 4$
$h (x)$
$= 2 x^{2} + 4 x + 6$
$k (x)$
$= - 3 (x^{2} - 8 x + 16) - 1$
$k (x)$
$= - 3 x^{2} + 24 x - 49$

→ $α$ est le nombre retranché à $x$ : dans $(x + 2)$ , $α = - 2$ .

Exercice 2 — Compléter un carré ( $a = 1$ )

Écrire chaque trinôme sous la forme $(x - α)^{2} + β$ .

A $=$
$x^{2} + 8 x - 3$
B $=$
$x^{2} - 6 x + 2$
C $=$
$x^{2} - 3 x + 1$
D $=$
$x^{2} + 5 x + 2$
E $=$
$x^{2} - 12 x + 35$
F $=$
$x^{2} - 9 x$

Corrigé

$x^{2} + k x$ est le début de $(x + \frac{k}{2})^{2} = x^{2} + k x + \frac{k ^{2}}{4}$ : on retire ensuite $\frac{k ^{2}}{4}$ .

A $=$
$x^{2} + 8 x - 3 = (x + 4)^{2} - 16 - 3 = (x + 4)^{2} - 19$
B $=$
$x^{2} - 6 x + 2 = (x - 3)^{2} - 9 + 2 = (x - 3)^{2} - 7$
C $=$
$x^{2} - 3 x + 1 = (x - \frac{3}{2})^{2} - \frac{9}{4} + \frac{4}{4} = (x - \frac{3}{2})^{2} - \frac{5}{4}$
D $=$
$x^{2} + 5 x + 2 = (x + \frac{5}{2})^{2} - \frac{25}{4} + \frac{8}{4} = (x + \frac{5}{2})^{2} - \frac{17}{4}$
E $=$
$x^{2} - 12 x + 35 = (x - 6)^{2} - 36 + 35 = (x - 6)^{2} - 1$
F $=$
$x^{2} - 9 x = (x - \frac{9}{2})^{2} - \frac{81}{4}$

→ Dans la parenthèse : la moitié du coefficient de $x$ , avec son signe.

Exercice 3 — Compléter un carré ( $a \neq = 1$ )

Écrire chaque trinôme sous la forme $a (x - α)^{2} + β$ .

A $=$
$2 x^{2} + 8 x + 3$
B $=$
$- x^{2} + 3 x + 2$
C $=$
$4 x^{2} - 8 x + 4$
D $=$
$- x^{2} + 5 x - 4$
E $=$
$2 x^{2} + 2 x - 1$
F $=$
$- 2 x^{2} + 8 x - 5$

Corrigé

On met $a$ en facteur dans les deux premiers termes, puis on complète le carré.

A $=$
$2 x^{2} + 8 x + 3$

$A$
$= 2 (x^{2} + 4 x) + 3$
$A$
$= 2 [(x + 2)^{2} - 4] + 3$
$A$
$= 2 (x + 2)^{2} - 8 + 3$
$A$
$= 2 (x + 2)^{2} - 5$
B $=$
$- x^{2} + 3 x + 2$

$B$
$= - (x^{2} - 3 x) + 2$
$B$
$= - [(x - \frac{3}{2})^{2} - \frac{9}{4}] + 2$
$B$
$= - (x - \frac{3}{2})^{2} + \frac{17}{4}$
C $=$
$4 x^{2} - 8 x + 4 = 4 (x^{2} - 2 x + 1) = 4 (x - 1)^{2}$ ( $β = 0$ )
D $=$
$- x^{2} + 5 x - 4$

$D$
$= - (x^{2} - 5 x) - 4$
$D$
$= - [(x - \frac{5}{2})^{2} - \frac{25}{4}] - 4$
$D$
$= - (x - \frac{5}{2})^{2} + \frac{9}{4}$
E $=$
$2 x^{2} + 2 x - 1$

$E$
$= 2 (x^{2} + x) - 1$
$E$
$= 2 [(x + \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{4}] - 1$
$E$
$= 2 (x + \frac{1}{2})^{2} - \frac{3}{2}$
F $=$
$- 2 x^{2} + 8 x - 5$

$F$
$= - 2 (x^{2} - 4 x) - 5$
$F$
$= - 2 [(x - 2)^{2} - 4] - 5$
$F$
$= - 2 (x - 2)^{2} + 3$

→ Erreur fréquente : oublier de multiplier par $a$ le terme retiré. En A, $2 \times (- 4) = - 8$ , et non $- 4$ .

Chapitre 3 — Le second degré · coursI La forme canonique du trinôme

Définition 1 — Trinôme du second degré

Théorème 1 — Forme canonique

Méthode 1 — Mettre un trinôme sous forme canonique

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 1 — Lire, écrire et développer une forme canonique

Exercice 2 — Compléter un carré (a=1)

Exercice 3 — Compléter un carré (a=1)

Exercice 2 — Compléter un carré ( $a = 1$ )

Exercice 3 — Compléter un carré ( $a \neq = 1$ )