Chapitre 1 — Suites numériques · coursVIII Suites géométriques : définition

Sommaire du chapitre

I — Notion de suite
- Méthode 1 — Calculer un terme d'une suite définie de façon explicite
II — Suites définies par récurrence
- Méthode 2 — Calculer les termes d'une suite définie par récurrence
III — Représentation graphique d'une suite
- Méthode 3 — Représenter graphiquement une suite
IV — Suites arithmétiques : définition
- Méthode 4 — Reconnaître et modéliser une suite arithmétique
V — Suites arithmétiques : expression en fonction de $n$
- Méthode 5 — Exprimer une suite arithmétique en fonction de $n$
VI — Suites arithmétiques : problème de seuil
- Méthode 6 — Résoudre un problème de seuil (croissance linéaire)
VII — Suites arithmétiques : variations et représentation graphique
- Méthode 7 — Sens de variation d'une suite arithmétique
VIII — Suites géométriques : définition
- Méthode 8 — Calculer les premiers termes d'une suite géométrique
- Méthode 9 — Reconnaître une suite géométrique
IX — Suites géométriques : expression en fonction de $n$
- Méthode 10 — Exprimer une suite géométrique en fonction de $n$
X — Suites géométriques : variations et représentation graphique
- Méthode 11 — Sens de variation d'une suite géométrique
XI — Suites géométriques : problème de seuil
- Méthode 12 — Résoudre un problème de seuil avec un tableau de valeurs
XII — Comparer deux évolutions
- Méthode 13 — Comparer une croissance linéaire et une croissance exponentielle

Définition 6 — Suite géométrique

Une suite $(u_{n})$ est géométrique quand on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q > 0$ : pour tout $n$ ,

u_{n + 1} = q \times u_{n}

Le nombre $q$ s'appelle la raison de la suite.

Méthode 8 — Calculer les premiers termes d'une suite géométrique

Exemples corrigés

a)
La suite $(u_{n})$ est géométrique, de premier terme $u_{0} = 2$ et de raison $q = 3$ . Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .
b)
On place $1000$ € sur un livret à $3 %$ par an, intérêts compris dans le capital. On note $u_{n}$ le capital, en €, au bout de $n$ années. Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ , puis exprimer $u_{n + 1}$ en fonction de $u_{n}$ .
c)
En 2022, un lac contient $400$ kg de déchets plastiques ; grâce au nettoyage, cette masse baisse de $20 %$ par an. On note $v_{n}$ la masse, en kg, en $2022 + n$ . Calculer $v_{1}$ et $v_{2}$ , puis exprimer $v_{n + 1}$ en fonction de $v_{n}$ .

Correction

u_{1} = 3 \times 2 = 6

on multiplie par la raison

u_{2} = 3 \times 6 = 18

u_{3} = 3 \times 18 = 54

Augmenter de

3 %

, c'est multiplier par

1, 03

1 + \frac{3}{100} = 1, 03

u_{0} = 1000

u_{1} = 1, 03 \times 1000 = 1030

au bout d'un an :

1030

€

u_{2} = 1, 03 \times 1030 = 1060, 90

1030 + 30, 90

u_{n + 1} = 1, 03 u_{n}

: suite géométrique de raison

q = 1, 03

même coefficient chaque année

Baisser de

20 %

, c'est multiplier par

0, 8

1 - \frac{20}{100} = 0, 8

v_{0} = 400

v_{1} = 0, 8 \times 400 = 320

en 2023, il reste

320

v_{2} = 0, 8 \times 320 = 256

en 2024, il reste

256

v_{n + 1} = 0, 8 v_{n}

: suite géométrique de raison

q = 0, 8

même coefficient chaque année

À vous de jouer

1°)
La suite $(w_{n})$ est géométrique, de premier terme $w_{0} = 4$ et de raison $q = 5$ . Calculer $w_{1}$ , $w_{2}$ et $w_{3}$ .
2°)
En 2025, une ville compte $30000$ habitants ; sa population augmente de $2 %$ par an. On note $p_{n}$ la population en $2025 + n$ . Calculer $p_{1}$ et $p_{2}$ , puis exprimer $p_{n + 1}$ en fonction de $p_{n}$ .
3°)
Un téléphone acheté $800$ € perd $25 %$ de sa valeur chaque année. On note $t_{n}$ sa valeur, en €, au bout de $n$ années. Calculer $t_{1}$ et $t_{2}$ , puis exprimer $t_{n + 1}$ en fonction de $t_{n}$ .

Correction

1°)

w_{1} = 5 \times 4 = 20

on multiplie par la raison

w_{2} = 5 \times 20 = 100

w_{3} = 5 \times 100 = 500

2°)

Augmenter de

2 %

, c'est multiplier par

1, 02

1 + \frac{2}{100} = 1, 02

p_{0} = 30000

p_{1} = 1, 02 \times 30000 = 30600

en 2026 :

30600

habitants

p_{2} = 1, 02 \times 30600 = 31212

30600 + 612

p_{n + 1} = 1, 02 p_{n}

: suite géométrique de raison

q = 1, 02

même coefficient chaque année

3°)

Perdre

25 %

, c'est multiplier par

0, 75

1 - \frac{25}{100} = 0, 75

t_{0} = 800

t_{1} = 0, 75 \times 800 = 600

au bout d'un an :

600

€

t_{2} = 0, 75 \times 600 = 450

600 - 150

t_{n + 1} = 0, 75 t_{n}

: suite géométrique de raison

q = 0, 75

même coefficient chaque année

À faire : exercices 32 à 35

Exercice 32 — Coefficient multiplicateur

Donner le coefficient multiplicateur $q$ .

a) Augmenter de

4 %

b) Diminuer de

4 %

c) Augmenter de

30 %

d) Diminuer de

30 %

e) Augmenter de

60 %

f) Diminuer de

25 %

g) Augmenter de

2 %

h) Diminuer de

45 %

Corrigé

Augmenter de $t %$ : $\times (1 + \frac{t}{100})$ ; diminuer : $\times (1 - \frac{t}{100})$ .

1, 04

0, 96

1, 3

0, 7

1, 6

0, 75

1, 02

0, 55

Exercice 33 — Retrouver l'évolution

Traduire chaque coefficient par « augmenter de… % » ou « diminuer de… % ».

q = 0, 96

q = 1, 06

q = 0, 4

q = 1, 3

q = 3

q = 0, 98

q = 0, 85

q = 1, 075

Corrigé

a) diminuer de

4 %

b) augmenter de

6 %

c) diminuer de

60 %

d) augmenter de

30 %

e) augmenter de

200 %

f) diminuer de

2 %

g) diminuer de

15 %

h) augmenter de

7, 5 %

$q > 1$ : hausse de $(q - 1) \times 100 %$ ; $q < 1$ : baisse de $(1 - q) \times 100 %$ .

Exercice 34 — Appliquer une évolution

Calculer, sans calculatrice.

300

augmenté de

20 %

500

diminué de

10 %

2000

augmenté de

3 %

60

diminué de

25 %

Corrigé

300 + 60 = 360

500 - 50 = 450

2000 + 60 = 2060

60 - 15 = 45

Exercice 35 — Calculer les premiers termes

a)
La suite $(u_{n})$ est géométrique, de premier terme $u_{0} = 5$ et de raison $q = 2$ . Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .

Pour chaque situation, donner le premier terme, calculer les termes de rang $1$ et $2$ , puis exprimer le terme suivant en fonction du précédent.

b)
Un capital $c_{n}$ : $5000$ € placés à $2 %$ par an.
c)
Une forêt de $f_{n}$ arbres : $40000$ arbres au départ, $5 %$ de pertes par an.
d)
Les émissions $e_{n}$ de CO $_{2}$ d'une usine : $800$ t, en baisse de $10 %$ par an.
e)
Une population $i_{n}$ d'insectes : $300$ au départ, en hausse de $50 %$ chaque semaine.

Corrigé

a)
$u_{1} = 10$ ; $u_{2} = 20$ ; $u_{3} = 40$
b)
$c_{0} = 5000$ ; $c_{1} = 5100$ ; $c_{2} = 5202$ ; $c_{n + 1} = 1, 02 c_{n}$
c)
$f_{0} = 40000$ ; $f_{1} = 38000$ ; $f_{2} = 36100$ ; $f_{n + 1} = 0, 95 f_{n}$
d)
$e_{0} = 800$ ; $e_{1} = 720$ ; $e_{2} = 648$ ; $e_{n + 1} = 0, 9 e_{n}$
e)
$i_{0} = 300$ ; $i_{1} = 450$ ; $i_{2} = 675$ ; $i_{n + 1} = 1, 5 i_{n}$

Propriété 5 — Reconnaître une suite géométrique

Une suite à termes strictement positifs est géométrique quand le quotient de deux termes consécutifs est toujours le même : $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = q$ . Dans un énoncé : une grandeur évolue du même pourcentage à chaque étape.

Méthode 9 — Reconnaître une suite géométrique

Exemples corrigés

a)
Les listes $5$ ; $15$ ; $45$ ; $135$ et $5$ ; $10$ ; $15$ ; $20$ sont-elles les premiers termes de suites géométriques ?
b)
Chaque mois, le nombre d'abonnés d'une chaîne vidéo augmente de $10 %$ . Le nombre d'abonnés forme-t-il une suite géométrique ? Si oui, donner sa raison.

Correction

\frac{15}{5} = 3

;

\frac{45}{15} = 3

;

\frac{135}{45} = 3

quotients successifs

Première liste : géométrique, de raison

3

les quotients sont égaux

\frac{10}{5} = 2

mais

\frac{15}{10} = 1, 5

Deuxième liste : pas géométrique (elle est arithmétique, de raison

5

Augmenter de

10 %

, c'est multiplier par

1, 1

1 + \frac{10}{100} = 1, 1

Suite géométrique, de raison

q = 1, 1

même pourcentage chaque mois

À vous de jouer

1°)
Les listes $81$ ; $27$ ; $9$ ; $3$ et $2$ ; $4$ ; $8$ ; $14$ sont-elles les premiers termes de suites géométriques ?
2°)
Chaque année, la consommation d'eau d'un immeuble baisse de $5 %$ . Forme-t-elle une suite géométrique ? Si oui, donner sa raison.

Correction

1°)

\frac{27}{81} = \frac{1}{3}

;

\frac{9}{27} = \frac{1}{3}

;

\frac{3}{9} = \frac{1}{3}

quotients successifs

Première liste : géométrique, de raison

\frac{1}{3}

les quotients sont égaux

\frac{4}{2} = 2

mais

\frac{14}{8} = 1, 75

Deuxième liste : pas géométrique.

les quotients changent

2°)

Baisser de

5 %

, c'est multiplier par

0, 95

1 - \frac{5}{100} = 0, 95

Suite géométrique, de raison

q = 0, 95

même pourcentage chaque année

À faire : exercice 36

Exercice 36 — Reconnaître une suite géométrique

Pour chaque liste ou situation, dire s'il s'agit d'une suite géométrique ; si oui, donner la raison.

3

;

12

;

48

;

192

64

;

32

;

16

;

8

4

;

8

;

12

;

16

500

;

550

;

605

;

665, 5

e)
Le prix d'un abonnement augmente de $4 %$ chaque année.
f)
Un loyer augmente de $15$ € chaque année.

Corrigé

On calcule les quotients de deux termes consécutifs.

q = 4

q = 0, 5

c) non :

\frac{8}{4} = 2

\frac{12}{8} = 1, 5

q = 1, 1

e) oui :

q = 1, 04

f) non : on ajoute

15

(arithmétique)